Radioaktivitet och nedbrytning

Idag sker mycket i naturen som inte alls var naturligt förr i tiden. Kemikalier är inte en per definition ovanlig eller livsfarlig företeelse, många olika substanser finns för jämnan i vår kropp och är nödvändiga för livet att fungera. Men i mycket större skala än förut manipulerar och blandar vi människor olika kemiska ämnen i processer som aldrig skett före människans tid. De utförs bland annat för energi-, material- och läkemedelsframställning.

Förmågan att hålla koll på och reglera dessa processer är viktiga för att säkerställa vår framtid. Lika viktig är förmågan att kalkylera olycksrisker och skador från de olyckor som tyvärr inträffar.

Normalt är de atomer som bygger upp all materia runtom oss stabila, de sönderfaller inte. Vissa slags atomer, exempelvis somliga isotoper av uran, är radioaktiva. De sönderfaller efter en viss tid. Även kol, som bygger upp cellerna i våra kroppar, finns i radioaktiva isotoper och det är på detta och många andra vis vi kan åldersbestämma gamla kolbaserade föremål.

Det finns många exempel på kemiska ämnen som vi vet är, eller som senare har visat sig vara, skadliga för naturen. Insektsgiftet DDT är ett klassiskt exempel, likaså freoner som tidigare användes i kylskåp, frysar och sprayburkar. Beräkningar som hör hemma i dessa sammanhang ska vi också titta närmre på.

Vad som händer efter olyckliga oljeutsläpp i havet, i vilken utsträckning och hurt snabbt oljan breder ut sig bland vattenmassorna, förklaras av datorsimuleringar. Några av de ekvationer som datorerna utför beräkningar på kan du läsa mer om i kapitlet Olösta problem i slutet av boken.

Det finns många saker som forskare ännu inte begriper sig på vad det gäller det allra minsta, som atomer och vad som försiggår inuti dem. En sådan sak är hur lång tid det tar för en specifik radioaktiv atom att sönderfalla. Det kan liknas med att vi från statistik inte kan säga något om livslängden hos en specifik individ, men kan göra motiverade uttalanden om en hel grupp. Livsmedels bäst före-datum är ett annat exempel, de garanterar inte att en specifik mjölkliter blivit gammal men kan med statistisk säkerhet säga att majoriteten påverkats negativt efter angivet datum (med en viss felmarginal).

På samma sätt kan vi med god statistisk noggrannhet inte uttala oss om när en specifik atom sönderfallit, men efter hur lång tid ungefär hälften av en samling radioaktiva atomer har det.

Radioaktivitet

Om hälften av ett antal radioaktiva atomer har sönderfallit efter en tidpunkt T kallar vi detta för halveringstiden. Efter lika lång tid har ytterligare hälften sönderfallit och bara en fjärdedel återstår, och så vidare. De som studerat geometriska serier känner nog igen sig. Händelseförloppet bildar en exponentiell kurva enligt formeln:

$$ N(t) = N_0 e^{ {-t \ln(2) } / T } $$

Där $N_0$ är antalet atomer från början, t är tiden som passerat, $e ≈ 2,72$ och $ln(2) ≈ 0,69$. T är som bekant halveringstiden, vilken är specifik för olika ämnen (olika atomslag och isotoper).

När de radioaktiva atomerna sönderfaller avger de joniserande strålning, densamma som används i kärnkraftverk för att generera elektrisk energi. Det är vanligt att säga "radioaktiv strålning", även om detta är ett missvisande och felaktigt begrepp. Det är samlingen atomer och inte strålningen som är radioaktiv. Den korrekta termen är joniserande strålning. I kärnkraftverk måste processen kontrolleras noga och bromsas upp tillräckligt så att reaktionerna sker under kontrollerade former, men inte bromsas så kraftigt att processen avstannar helt. Samtidigt är strålningen mycket farlig och måste skärmas av. I båda fallen gäller det att ekvationerna för radioaktivitet respektive strålning beräknas med god noggrannhet.

Ett problem med klassiska kärnkraftverk är avfallet, det som blir kvar av det sönderfallna och använda uranet som fortfarande är radioaktivt men inte längre praktiskt användbart. Det har halveringstider på hundratusentals år och måste därför lagras på säkra ställen under praktiskt taget obestämd tid. Den joniserande strålningen är skadlig och dödlig för de flesta levande varelser, inklusive människor (Marie Curie, som krediteras med upptäckten av radioaktivitet, var ovetande om dess skadliga effekter och dog på grund av det. Det mesta av hennes laboratoriematerial är än idag radioaktivt och inkapslat i bly.) men den har som tur är ingen längre räckvidd. Här måste flertalet beräkningar ske, både inom hur lång tid som lagringen måste hållas säker och hur stort utrymme som kommer behövas. Mängd kärnavfall per timme, hur ofta och i vilken utsträckning processen körs, prognoser för framtida bruk och så vidare är faktorer som ingår i sådana ekvationer.

I skrivande stund bedrivs mycket forskning inom fusion (sammanfogning av atomer) i motsats till den fission (klyvning av atomer) som sker i dagens kärnkraftverk. Med fusion smälts lätta atomer, vanligtvis väte, samman till den lite större heliumatomen. Denna process avger energi på samma sätt som klyvningen, men lämnar inga farliga restprodukter. Heliumet är inte radioaktivt. Väte är universums vanligaste grundämne och metoden ger potentiellt mycket mer energi än fission. Tyvärr är den mycket mer komplicerad. En testreaktor (ITER) väntas stå färdig 2018 och då allt ännu är i forskningsstadiet är det mycket teoretisk fysik och därmed matematik som ligger till grunden. Även så i ekonomin, då anläggningen beräknas kosta runt 50 miljarder kronor.

Det ska tilläggas att radioaktivitet och joniserande strålning, om än dödlig, figurerar inom många livräddande sammanhang. Vid vissa medicinska undersökningar sprutas ett radioaktivt ämne med kort halveringstid in i kroppen, som samlas upp i större dos i det område läkarna vill undersöka, till exempel en tumör. När de radioaktiva atomerna sönderfaller avges joniserande strålning som fångas kartläggs. Detaljerade bilder av kroppens inre kan då ritas upp på en datorskärm.

Många människor har undersökt effekten av strålning på olika organ. Beräkningar sker på olika sätt när det gäller strålningsdoser, det vill säga hur mycket joniserande strålning som någon utsatts för. Detta är särskilt viktigt inom medicinska områden där röntgensjuksköterskor och tandläkare ofta exponeras. Kärnkraftsolyckor som i Japan 2011 eller Tjernobyl 1986 är ett annat exempel. Här är det också av intresse att kunna modellera vinden och explosionsstyrkan matematiskt för att kunna förutsäga spridningen av radioaktivt material och på så sätt kunna vidta korrekta åtgärder i god tid.Förmågan att hålla koll på och reglera dessa processer är viktiga för att säkerställa vår framtid. Lika viktig är förmågan att kalkylera olycksrisker och skador från de olyckor som tyvärr inträffar.

Normalt är de atomer som bygger upp all materia runtom oss stabila, de sönderfaller inte. Vissa slags atomer, exempelvis somliga isotoper av uran, är radioaktiva. De sönderfaller efter en viss tid. Även kol, som bygger upp cellerna i våra kroppar, finns i radioaktiva isotoper och det är på detta och många andra vis vi kan åldersbestämma gamla kolbaserade föremål.

Det finns många exempel på kemiska ämnen som vi vet är, eller som senare har visat sig vara, skadliga för naturen. Insektsgiftet DDT är ett klassiskt exempel, likaså freoner som tidigare användes i kylskåp, frysar och sprayburkar. Beräkningar som hör hemma i dessa sammanhang ska vi också titta närmre på.

Vad som händer efter olyckliga oljeutsläpp i havet, i vilken utsträckning och hurt snabbt oljan breder ut sig bland vattenmassorna, förklaras av datorsimuleringar. Några av de ekvationer som datorerna utför beräkningar på kan du läsa mer om i kapitlet Olösta problem i slutet av boken. Det finns många saker som forskare ännu inte begriper sig på vad det gäller det allra minsta, som atomer och vad som försiggår inuti dem. En sådan sak är hur lång tid det tar för en specifik radioaktiv atom att sönderfalla. Det kan liknas med att vi från statistik inte kan säga något om livslängden hos en specifik individ, men kan göra motiverade uttalanden om en hel grupp. Livsmedels bäst före-datum är ett annat exempel, de garanterar inte att en specifik mjölkliter blivit gammal men kan med statistisk säkerhet säga att majoriteten påverkats negativt efter angivet datum (med en viss felmarginal).

På samma sätt kan vi med god statistisk noggrannhet inte uttala oss om när en specifik atom sönderfallit, men efter hur lång tid ungefär hälften av en samling radioaktiva atomer har det.

Farliga ämnen

Flertalet kemiska produkter är skadliga för miljön, såsom exempelvis DDT. Insektsmedlet är sedan 1970-talet förbjudet men användes i stor utsträckning före det och rester av DDT finns kvar i naturen än idag. Koncentrationen avtar exponentiellt och kan därför med god noggrannhet modelleras enligt formeln som gavs tidigare med halveringstiden 15 år. Efter hur lång tid är nästan allt (99 procent) av den mängd DDT som fanns i naturen 1968 borta? Vi använder den tidigare nämnda formeln med halveringstiden år. Vi vet inte hur stor koncentrationen var utan kallar den helt enkelt för x. Uträkningen fungerar ändå eftersom nedbrytningshastigheten (halveringstiden) är konstant, oberoende av hur stor mängden faktiskt är.

Frågan är när bara en procent, alltså $0,01x$, återstår:

$$ N(t) = N_0 e^{ {-t \ln(2) } / T } $$

med $N_0=x$ och $T=15$

Vi försöker lösa ut tiden , alltså antal år efter 1968. Uttrycket förenklas vidare till:

$$0,01x = xe^{ {-t ln(2)} / {15} } ⇨ ln(0,01) = {-t ln(2) } / {15} ⇨ t = {-ln(0,01) * 15 } / { ln(2) } ≈ 100$$

Med lite räknande kommer vi fram till $t ≈ 100$. Inte förrän om hundra år efter 1968, år 2068, kommer bara en procent av de DDT-utsläpp som fanns 1968 vara kvar. Möjligheten till sådana uträkingar är viktig för att veta hur förorenad en mark är, om den går att bruka, och så vidare. Liknande formler används för andra typer av skadliga ämnen.

Arkeologi och geologi

Kol-14 är en radioaktiv isotop av kol som alla levande organismer på denna planet, djur som växter, har vissa koncentrationer av. Vi absorberar hela tiden en viss mängd genom vår föda och håller därmed koncentrationen i kroppen jämn under hela vår livstid. När ett djur eller en växt dör eller vissnar slutar denna kontinuerliga påfyllning och eftersom kolet är radioaktivt börjar det sönderfalla. Genom att jämföra koncentrationen hos en död varelse med en levande kan vi säga något om hur länge den legat död. Halveringstiden är redan känd till att vara 5730 år. Detta vet vi tack vare duktig matematisk slutledning efter observationer under mycket kortare tidsintervall.

Det finns några felkällor. Halveringstiden är inte så strikt att det efter en halveringstid alltid sönderfallit hälften av materialet. Däremot ligger svaret mycket nära, sannolikheten att så skett är störst vid just denna tidpunkt. Kol-14-metoden lämpar sig inte särskilt bra för att åldersbestämma in på timmarna och inte heller när det rör sig om tiotals miljoner år. Detta på grund av den statistiska osäkerheten. Sönderfallet är en så kallad stokastisk process, den beror på slumpen. Som tur är finns det många andra sätt att åldersbestämma föremål, alla olika bra lämpade för olika tidsåldrar. Valen kan på matematiska och kemiska vis motiveras.

När det gäller just kol-14-metoden finns en specifikt anpassad formel för att finna hur många år som en varelse legat död. Den baseras på den formel för radioaktiv nedbrytning som visades tidigare men är omformulerad och anpassad efter denna metods särskilda behov. Åldern beräknas med:

Här står för varelsens nuvarande koncentration av Kol-14 och är den koncentration som den hade vid dödstillfället. Det ligger en hel del andra uträkningar bakom att bestämma , då analyser av isborrningar vid nord- och sydpolen visat att koncentrationen i atmosfären varierat genom årtusendena. Hur som helst är formeln och andra liknande mycket användbara. De kan också användas för att avgöra olika bergarters ålder eller planten jorden själv!